Il Cambio Fondamentale: Dalle Somme agli Integrali
Una variabile casuale $X$ è continua se esiste una funzione non negativa $f$, detta funzione di densità di probabilità (PDF) di $X$, tale che per ogni insieme di numeri reali $B$:
$P\{X \in B\} = \int_B f(x) dx$
In modo cruciale, ciò implica che per qualsiasi valore specifico $a$, $P(X = a) = \int_a^a f(x) dx = 0$. Nel dominio continuo, parliamo solo di probabilità su intervalli.
Sincronia tra PDF e CDF
La Funzione di Distribuzione Cumulativa (CDF) $F(x)$ agisce come accumulatore di probabilità da meno infinito fino a $x$:
$\frac{d}{dx}F(x) = f(x)$
Misure di Tendenza Centrale
- Valore Atteso: $E[X] = \int_{-\infty}^{\infty} xf(x) dx$
- Mediana ($m$): Il punto che divide a metà l'area, dove $F(m) = \frac{1}{2}$.
- Moda: Il valore di $x$ per cui $f(x)$ raggiunge il massimo.
I Limiti della Somma
Per apprezzare gli "integrali" nel nostro viaggio, confronta il mondo discreto — dove potremmo trovare il teorema di Legendre ($\sum_{k=1}^{\infty} 1/k^2 = \pi^2/6$) o logica complessa per i divisori (dove per $D=k$, $k$ deve dividere sia $X$ che $Y$ e $X/k, Y/k$ devono essere relativamente primi) — con il mondo continuo. Qui calcoliamo la varianza come $Var(X) = E[(X - E[X])^2]$ e gli aspetti di funzioni tramite $E[g(X)] = \int_{-\infty}^{\infty} g(x)f(x) dx$.